Εκπαίδευση

Για την απόκτηση Δ.Μ.Σ. απαιτείται και η εκπόνηση Μεταπτυχιακής Διπλωματικής Εργασίας. Στη Μεταπτυχιακή διπλωματική εργασία αντιστοιχούν 30 (τριάντα) πιστωτικές μονάδες. 

Είναι δυνατή η αντικατάσταση της Μεταπτυχιακής Διπλωματικής Εργασίας από δύο (2) μαθήματα του καταλόγου μαθημάτων και μια (1) Συνθετική Μεταπτυχιακή Διπλωματική εργασία, η οποία ισοδυναμεί με δέκα (10) πιστωτικές μονάδες. 

Η γλώσσα διδασκαλίας των μαθημάτων, εκπόνησης και εξέτασης των διατριβών και άλλων εργασιών είναι η Ελληνική, ενώ υπάρχει η δυνατότητα διδασκαλίας κάποιων μαθημάτων του Προγράμματος και στην Αγγλική μετά από απόφαση της  Ε.Δ.Ε..

Η μεταπτυχιακή διπλωματική εργασία κάθε φοιτητή,  εφόσον αυτή θεωρηθεί πλήρης από τον επιβλέποντα καθηγητή, οφείλει να  υποστηριχθεί ανοικτά επιτυχώς ενώπιον τριμελούς επιτροπής στο Πολυτεχνείο Κρήτης. Μεταπτυχιακές Διπλωματικές Εργασίες, πλην των συνθετικών, γίνονται αποδεκτές προς υποστήριξη αφού έχει συγγραφεί και κατατεθεί σχετικό ερευνητικό άρθρο για παρουσίαση σε διεθνές επιστημονικό συνέδριο ή για δημοσίευση σε διεθνές επιστημονικό περιοδικό. 

Ανάλυση και Υπολογιστική Πινάκων 

Ανάλυση και άλγεβρα πινάκων. Απαλοιφή Gauss – Διάσπαση LU – Ευαισθησία. Ελάχιστα Τετράγωνα – Gram-Schmidt – QR. Διάσπαση ιδιαζουσών τιμών (SVD). Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα.  Επαναληπτικές μέθοδοι επίλυσης γραμμικών συστημάτων.

Επιστημονικός/Παράλληλος Υπολογισμός 

Τεχνικές διεξαγωγής επιστημονικών υπολογισμών σε σύγχρονες υπολογιστικές αρχιτεκτονικές με χρήση βιβλιοθηκών υποπρογραμμάτων Αριθμητικής Γραμμικής Άλγεβρας. Μεθοδολογία και εργαλεία ανάπτυξης εφαρμογών σε πολυεπεξεργαστικά περιβάλλοντα παράλληλων υπολογισμών κοινής και κατανεμημένης μνήμης με χρήση των προτύπων OpenMP και MPI.

Σειρές Fourier - Μιγαδική Ανάλυση 

Ανάπτυξη συνάρτησης σε σειρά Fourier, μ συνέλιξη και πυρήνες (Poisson, Cauchy κτλ), εφαρμογές στη λύση ΜΔΕ, Radon transform. Αναλυτικές συναρτήσεις, θεώρημα Cauchy, ανάπτυξη σε δυναμοσειρά, σειρές Laurant, αρμονικές συναρτήσεις σύνδεση με ΜΔΕ και αρμονική ανάλυση, λογισμός υπολοίπων (residius), θεώρημα ανοικτής απεικόνισης του Riemann, σύμμορφες απεικονίσεις και εφαρμογές.

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις 

Μερικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης,  μερικές διαφορικές εξισώσεις για προβλήματα ροής, διάχυσης, δόνησης. Καλώς τεθειμένα προβλήματα: Αρχικές και συνοριακές συνθήκες που οδηγούν σε μοναδική λύση. Ταξινόμηση μερικών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης. Οι εξισώσεις κύματος, Laplace και θερμότητας σε πεπερασμένα και άπειρα χωρία. Σειρές Fourier στις μερικές διαφορικές εξισώσεις, Αρμονικές, Συναρτήσεις Green.

Προχωρημένη Αριθμητική Ανάλυση  

Βασικά εργαλεία αριθμητικής ανάλυσης. Θεωρία παρεμβολής και προσέγγισης. Αριθμητική παραγώγιση και ολοκλήρωση. Αριθμητικές μέθοδοι επίλυσης αρχικών και συνοριακών προβλημάτων γραμμικών και μη-γραμμικών Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων (ΣΔΕ).

Αριθμητικές Μέθοδοι για Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις  

Μέθοδοι επίλυσης Ελλειπτικών, Παραβολικών και Υπερβολικών Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων (ΜΔΕ) κάνοντας χρήση αριθμητικών μεθόδων διακριτοποίησης  α) συμπαγών και μη σχημάτων πεπερασμένων διαφορών, β) πεπερασμένων όγκων και γ) πεπερασμένων στοιχείων (Galerkin - Reyleigh Ritz – Collocation). Εφαρμογές σε γραμμικά και μη γραμμικά προβλήματα.

Εφαρμοσμένη συναρτησιακή ανάλυση 

Οι τρεις βασικές αρχές της Σ.Α. (Hahn-Banach, ανοικτή απεικόνιση, ομοιόμορφο φράγμα), γραμμικοί τελεστές με εφαρμογές στις διαφορικές και ολοκληρωτικές εξισώσεις, ασθενείς τοπολογίες, κυρτά σύνολα, θεωρήματα σταθερού σημείου, εφαρμογές στην οικονομία και το γραμμικό προγραμματισμό. Κατανομές και ασθενείς λύσεις ΔΕ.

Πολυμεταβλητή Στατιστική

Βασικά θέματα Επαγωγικής Στατιστικής (επανάληψη) – ανάλυση διασποράς (ANOVA) – απλή γραμμική παλινδρόμηση – προβλέψεις – καμπυλόγραμμη συσχέτιση – πολλαπλή γραμμική παλινδρόμηση – στατιστικός ποιοτικός έλεγχος – ανάλυση κυρίων συνιστωσών – image processing – παραγοντική ανάλυση – ανάλυση αντιστοιχιών – ανάλυση κατά συστάδες – διαχωριστική ανάλυση.

Θεωρία Επαναληπτικών Μεθόδων 

Βασικές επαναληπτικές μέθοδοι επίλυσης γραμμικών συστημάτων - Θεωρία σύγκλισης. Πολυωνυμικές, Chebyshev και Conjugate Gradient μέθοδοι επιτάχυνσης σύγκλισης. Red/Black διαμέριση και μέθοδοι επίλυσης. Krylov επαναληπτικές μέθοδοι. Τεχνικές προρύθμισης επαναληπτικών σχημάτων.  

Θεωρία Αλγορίθμων 

Σχεδιασμός - ανάλυση αλγορίθμων και αλγοριθμική πολυπλοκότητα. Αλγοριθμικές τεχνικές. Δυναμικός Προγραμματισμός. Αλγόριθμοι ταξινόμησης, εύρεσης, επιλογής. Θεωρία γραφημάτων, αναπαράσταση, διασχίσεις, κατευθυνόμενα γραφήματα, γραφήματα κόστους, αλγόριθμοι γραφημάτων, ελάχιστων μονοπατιών – επικαλυπτόντων δέντρων. Ευρετικοί αλγόριθμοι. Κλάσεις πολυπλοκότητας P και NP, ΝΡ πληρότητα. Επιλογή θεμάτων από κατηγορίες αλγορίθμων π.χ. θεωρίας πινάκων.

Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Ρευστομηχανική 

Ελλειπτικές, παραβολικές, υπερβολικές μερικές διαφορικές εξισώσεις για μόνιμα - μεταβατικά - μη μόνιμα φαινόμενα. Σφάλματα διακριτοποίησης, ευστάθεια, σύγκλιση. Ανάλυση Fourier και von Neumann. Η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών. Μέθοδος πεπερασμένων όγκων για δομημένα και μη δομημένα πλέγματα.

Προχωρημένα Θέματα Διακριτών Μαθηματικών 

Αρίθμηση, συνδυαστική, ιδιότητες ακεραίων, διατεταγμένα σύνολα και πλέγματα,  άλγεβρες Boole, επιλογή θεμάτων από κυψελιδικά αυτόματα, υπολογισμούς με συστολικά διανύσματα, απεικόνιση αλγορίθμων σε υπολογιστικά συστήματα.

Μέθοδοι Ανάπτυξης Εφαρμογών Υψηλών Επιδόσεων 

Μέθοδοι και εργαλεία ανάπτυξης εφαρμογών σε παράλληλα υπολογιστικά περιβάλλοντα μεεπιταχυντές υπολογισμών (πχ GPUs ). Υβριδικοί δικτυακοί και πολυνηματικοί υπολογισμοί σε αρχιτεκτονικές πολλαπλών πυρήνων κοινής ή/και κατανεμημένης μνήμης σύμφωνα με τα πρότυπα    OpenMP – MPI – OpenACC.

Πραγματική Ανάλυση και Θεωρία Μέτρου

Ακολουθίες πραγματικών αριθμών, limsup, liminf. Ακολουθίες Cauchy. Ακολουθίες συναρτήσεων. Σειρές πραγματικών αριθμών. Δυναμοσειρές και σειρές συναρτήσεων. Η παράγωγος. Το ολοκλήρωμα Riemann. Το μέτρο Lebesgue και το ολοκλήρωμα Lebesgue. Θεωρήματα σύγκλισης. Διαφόριση και ολοκλήρωση. Χώροι συναρτήσεων.

Στοχαστικά Χρηματοοικονομικά 

Χρηματοοικονομικά παράγωγα – Χαρακτηριστικά και είδη παραγώγων – συμβόλαια μελλοντικής εκπλήρωσης (futures) – προθεσμιακά συμβόλαια (forwards) – δικαιώματα προαίρεσης (options) – στρατηγικές δικαιωμάτων προαίρεσης  – ανταλλαγές (swaps) – σ-άλγεβρες – δεσμευμένη μέση τιμή – τιμολόγηση δικαιωμάτων προαίρεσης με την βοήθεια δεσμευμένης μέσης τιμής – martingales – τιμολόγηση δικαιωμάτων προαίρεσης με την βοήθεια των martingales – κίνηση Brown – τύπος Black-Scholes  – αλλαγή μέτρου πιθανότητας – στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις – λήμμα του Ito – θεώρημα Girsanov – τιμολόγηση δικαιωμάτων προαίρεσης με την βοήθεια στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων.